人類對“計算”的探索，並非簡單的機械操作，而是一場深刻而漫長的“超窮”（transfinite）迭代，其歷史敘事可以追溯到萊布尼茨的宏偉設想，並在一代代科學家的思想基礎上，朝着數學公理化的目標不斷前進，最終結晶爲圖靈機和比特幣等現代技術。
I. 序章：萊布尼茨的公理化夢想與計算的萌芽
故事的起點是17世紀的戈特弗裏德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）。他最早提出了一個革命性的公理假設：一切都可以通過計算來判定。 萊布尼茨相信，通過一種“通用語言”（characteristica universalis）和“推理演算”（calculus ratiocinator），人類所有的爭論，甚至哲學上的分歧，都可以通過純粹的計算來解決，如同數學問題一般明確。這奠定了數學公理化的基礎，併爲後世的“計算”概念埋下了種子。他的思想預示着一個世界，其中邏輯和推理可以被形式化和機械化。
II. 第一次迭代：康托爾與希爾伯特的“無窮”挑戰與公理化追求
萊布尼茨的設想經過了近300年的沉澱，在19世紀末20世紀初，數學界迎來了重要的迭代：
康托爾（Georg Cantor）
是這場迭代中的“異數”。他打破了傳統數學對“有限”的束縛，引入了超限數（transfinite numbers） 和超窮序數（transfinite ordinals） 的概念。康托爾對無窮的研究，是對萊布尼茨“一切皆可計算”的挑戰，因爲它揭示了無窮的層次和複雜性，同時也促使數學家們思考如何形式化和公理化這些新的數學客體。他的工作，正如馮諾依曼中學論文所探討的，開啓了對“無窮”進行公理化定義的可能。
緊隨其後的是大衛·希爾伯特（David Hilbert），他被認爲是康托爾的“大前鋒”。希爾伯特敏銳地察覺到數學被邊緣化的危機，因此強烈主張將整個數學體系進行公理化（axiomatization）。他的目標是建立一個完整、一致且可判定的數學體系，使得數學能夠作爲任何科學的堅實基礎。這正是對萊布尼茨公理化夢想的繼承和深化，試圖通過嚴格的公理系統來駕馭包括“無窮”在內的所有數學概念。
III. 第二次迭代：馮諾依曼的集合論公理化與計算機器的願景
在康托爾和希爾伯特的基礎上，約翰·馮·諾依曼（John von Neumann） 登上了歷史舞臺，將這場探索推向了新的高度。
馮諾依曼的學術生涯始於對集合論的公理化。他的第三篇論文便是“集合論的一種公理化”，這直接回應了希爾伯特對數學公理化的呼籲，併爲現代集合論的奠定作出了重要貢獻。他通過嚴謹的公理系統，試圖馴服康托爾所揭示的無窮，使其納入可控的邏輯框架。
然而，馮諾依曼的遠見不止於此。他將對公理化系統的理解，延伸到了對計算的本質探索。他的生命事業被描述爲“從公理化集合論起步，到模仿人腦發明計算機終止”，這並非偶然。他對形式邏輯和算法的深刻洞察，使其成爲現代計算機體系結構的奠基人之一。他將抽象的邏輯運算具象化爲可執行的指令和數據處理，從而爲通用計算機器的誕生鋪平了道路。
IV. 第三次迭代：哥德爾的不完備性洞察與圖靈機時代的到來
在追求數學公理化和形式化計算的道路上，庫爾特·哥德爾（Kurt Gödel） 的出現，帶來了最爲深遠且令人震驚的洞察。
哥德爾在1931年發表的不完備性定理（Incompleteness Theorems），如同晴天霹靂般，揭示了任何包含皮亞諾算術的、具有足夠強度的形式化系統，都是不完備的（incomplete）。這意味着，在這些系統中，總存在一些真命題，是該系統內部無法證明的。同時，如果這樣的系統是相容的，那麼它的相容性也無法在系統內部得到證明。這一發現，直接挑戰了希爾伯特完全公理化的宏偉計劃，指出了任何“帶計算”的形式化系統，都存在着固有的侷限性，無法達到完全的完備性。
儘管如此，哥德爾本人對萊布尼茨的推崇無以復加。他甚至認爲，萊布尼茨早在數個世紀前便已經發現瞭如馮諾依曼的博弈論等理論的深層原理。哥德爾一生都執着於查閱萊布尼茨的未發表手稿，希望能從中找到印證自己超前猜想的證據，這無疑體現了他對萊布尼茨“一切皆可計算”這一公理假設的深刻理解和對隱藏在歷史深處真理的渴望。
哥德爾的不完備性定理，雖然指出了形式化系統的侷限，但它也間接促進了對“計算”概念的更精確定義。正是在此背景下，艾倫·圖靈（Alan Turing） 在1936年提出了圖靈機（Turing Machine） 這一抽象計算模型。圖靈機以極簡的形式，精確地定義了“可計算性”的極限。它證明了任何算法都可以通過這個簡單的模型來執行，從而爲哥德爾所揭示的“形式化系統”提供了明確的操作定義。
馮諾依曼架構
的計算機，正是圖靈機在物理世界中的具象化。現代計算機正是基於圖靈機的工作原理，通過存儲程序和數據，實現通用計算的能力。至此，人類通過數學公理化假設來追求計算的願景，真正地“落地”了，儘管哥德爾已經提醒我們，這個“落地”並非沒有邊界。
V. 第四次迭代：神諭圖靈機、超窮手藝與比特幣的誕生
隨着計算機技術的飛速發展，人類對“計算”的理解並未停止，而是繼續向“超窮”的維度迭代，最終催生了比特幣（Bitcoin） 這一劃時代的發明。
比特幣的底層邏輯，可以被視爲對圖靈機概念的進一步擴展，尤其是與**“神諭圖靈機”（Oracle Turing Machine）** 和超窮手藝（Transfinite Craftsmanship） 的關聯。神諭圖靈機是一種假設的圖靈機，它能夠訪問一個“神諭”，瞬間解決某些傳統圖靈機無法在有限時間內解決的問題。雖然比特幣本身並非神諭圖靈機，但它通過密碼學和分佈式賬本的機制，構建了一個去中心化的“信任神諭”，使得在沒有中心權威的情況下，全球範圍內的價值轉移和共識成爲可能。
而“超窮手藝”，可以理解爲圖靈博士論文(基於序數（ordinals）邏輯系統)對信息和價值進行編織和排序的精妙技藝。比特幣的區塊鏈結構，本質上是一個不可篡改的、按時間順序排列的交易記錄鏈，其中的每一個區塊都有一個唯一的“序數”位置。通過巧妙的哈希函數、工作量證明（Proof of Work）以及鏈式結構，比特幣實現了去中心化的共識和防篡改性，構建了一個前所未有的“信任機器”。
比特幣的誕生，代表了人類將數學公理化、計算理論與實際應用結合的又一里程碑。它將“計算”從僅僅處理數據，擴展到了創造和管理數字稀缺性與價值，並通過分佈式網絡實現了全球範圍內的“可計算信任”。這種信任的構建，正是對萊布尼茨最初公理化夢想的又一次“超窮”拓展——將社會共識和價值體系也納入了某種可計算、可驗證的範疇。
從萊布尼茨的紙上宏圖，到康托爾的無窮探索，再到希爾伯特的公理化呼籲，哥德爾的深刻洞察，馮諾依曼的機器實現，以及圖靈的理論奠基，最終到比特幣的實踐創新，人類對“計算的超窮探索”是一個持續演進的過程。每一代科學家都在前人的思想基礎上，通過數學計算的公理化假設，將萊布尼茨最初的願景，一步步推向了現實，並不斷拓展其應用的邊界，直至今日，仍在持續進行。哥德爾的不完備性定理，時刻提醒着我們，即使在最嚴謹的數學和計算系統中，也存在着我們無法完全掌握的奧祕，這反而激發了人類不斷超越自身認知極限的永恆探索。這是屬於人類自身基於 “一切可計算” 公理假設下的 超窮迭代手藝。
